Futoshiki – Schwierig

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Futoshiki

Futoshiki ist ein Zahlenrätsel auf einem quadratischen Gitter. Der Name bedeutet sinngemäss „Ungleichheit“. Der Puzzletyp ist auch unter Bezeichnungen wie „Unequal“ oder „More or Less“ bekannt.

Das Gitter besteht aus 6 Zeilen und 6 Spalten. In jede Zeile und jede Spalte müssen die Zahlen 1 bis 6 genau einmal eingetragen werden. Zwischen manchen Feldern stehen Ungleichheitszeichen. Diese zeigen an, welche der beiden benachbarten Zahlen kleiner ist.

Anders als beim Sudoku gibt es keine zusätzlichen 2x3- oder 3x3-Regionen. Entscheidend sind nur Zeilen, Spalten und die eingezeichneten Ungleichheiten.

Grundregeln

Das Gitter besteht aus 6 Zeilen und 6 Spalten.
In jedes Feld wird eine Zahl von 1 bis 6 eingetragen.
In jeder Zeile muss jede Zahl von 1 bis 6 genau einmal vorkommen.
In jeder Spalte muss jede Zahl von 1 bis 6 genau einmal vorkommen.
Ein Kleiner-als-Zeichen bedeutet, dass die Zahl auf der offenen Seite grösser und die Zahl an der Spitze kleiner ist.
Ein Grösser-als-Zeichen wird entsprechend in der anderen Richtung gelesen.
Auch vertikale Zeichen zeigen stets zur kleineren Zahl.
Es gibt keine zusätzlichen Blockregeln wie beim Sudoku.
Die vorgegebenen Zahlen und Ungleichheitszeichen dürfen nicht verändert werden.
Das Rätsel ist gelöst, wenn jede Zeile und Spalte die Zahlen 1 bis 6 genau einmal enthält und alle Ungleichheiten erfüllt sind.

Strategien zum Lösen

1. Eine Ungleichheitskette ordnet zwei fehlende Zahlen

In der fünften Zeile dieses Beispiels fehlen nur noch die Zahlen 2 und 6. Das Zeichenmuster dieser Zeile enthält die Kette:

1 < ? < ?

Die beiden leeren Felder müssen 2 und 6 enthalten. Da das erste der beiden Felder kleiner als das zweite sein muss, ist nur folgende Reihenfolge möglich:

Die 2 kommt in das vierte Feld und die 6 in das fünfte Feld. Die umgekehrte Reihenfolge würde gegen das Kleiner-als-Zeichen verstossen.

2. Ein Tal erzwingt die kleinste verbleibende Zahl

In der vierten Zeile des folgenden Beispiels stehen zwischen dem dritten, vierten und fünften Feld die Zeichen:

4 > ? < 2

In der vierten Zeile fehlen nur die Zahlen 1 und 5. Das vierte Feld muss kleiner als 4 und gleichzeitig kleiner als 2 sein. Von den beiden fehlenden Zahlen erfüllt nur die 1 diese Bedingung.

Damit wird das vierte Feld zur 1 und das zweite Feld zur 5. Die Ungleichheit bestimmt den Wert eindeutig.

3. Ein einzelnes Zeichen entscheidet die Reihenfolge eines Paars

In der letzten Zeile des folgenden Beispiels fehlen die Zahlen 4 und 5. Zwischen den beiden leeren Feldern steht ein Kleiner-als-Zeichen.

Die relevante Folge lautet:

? < ?

Das linke Feld muss die kleinere der beiden fehlenden Zahlen enthalten. Deshalb ergibt sich:

Die 4 steht links und die 5 rechts. Ohne das Ungleichheitszeichen wären beide Reihenfolgen zunächst denkbar.

4. Vertikale Zeichen zu einer Kette verbinden

Auch mehrere vertikale Zeichen können zusammen eine Reihenfolge festlegen. In der letzten Spalte des folgenden Beispiels stehen in den ersten drei Zeilen zwei nach unten zeigende Zeichen. Das bedeutet:

oberes Feld > mittleres Feld > unteres Feld

Im folgenden Zwischenstand fehlen in dieser Spalte nur noch die Zahlen 1 und 3:

Das mittlere Feld muss kleiner als 4, aber grösser als das darunterliegende Feld sein. Für die beiden fehlenden Zahlen bleibt deshalb nur:

Die Reihenfolge 1 über 3 wäre unmöglich, weil die Zahlen nach unten kleiner werden müssen.

5. Ungleichheiten liefern Ober- und Untergrenzen

Ein Feld, das kleiner als ein Feld mit der Zahl 2 sein muss, kann nur die 1 enthalten. Umgekehrt kann ein Feld, das grösser als eine 5 sein muss, in einem 6x6-Rätsel nur die 6 enthalten.

Solche Extremfälle sind besonders wertvoll. Auch wenn die benachbarte Zahl noch nicht feststeht, kann eine längere Kette Kandidaten stark begrenzen. In einer dreigliedrigen steigenden Kette kann das erste Feld beispielsweise niemals 5 oder 6 sein, weil noch zwei grössere Zahlen folgen müssen.

6. Zeilen, Spalten und Zeichen immer gemeinsam prüfen

Ein Wert kann zwar zur Ungleichheit passen, aber trotzdem in der zugehörigen Zeile oder Spalte bereits vorhanden sein. Umgekehrt können Zeilen- und Spaltenkandidaten durch ein Zeichen auf eine einzige Möglichkeit reduziert werden.

Vor jedem Eintrag müssen daher drei Fragen beantwortet werden:

Fehlt die Zahl noch in der Zeile?
Fehlt die Zahl noch in der Spalte?
Erfüllt sie alle angrenzenden Ungleichheiten?

Typischer Lösungsablauf

Suche zuerst Zeilen und Spalten mit vielen vorgegebenen Zahlen.
Notiere die fehlenden Zahlen jedes fast vollständigen Bereichs.
Nutze Ungleichheitszeichen, um die fehlenden Zahlen zu ordnen.
Prüfe Ketten aus mehreren Zeichen und leite Ober- oder Untergrenzen ab.
Suche nach Feldern, die kleiner als 2 oder grösser als 5 sein müssen.
Übertrage jeden neuen Eintrag sofort auf die zugehörige Zeile, Spalte und benachbarte Ungleichheiten.
Trage nur Zahlen ein, deren Position eindeutig feststeht.

Häufige Fehler

Das Zeichen in die falsche Richtung lesen. Die Spitze zeigt immer zur kleineren Zahl.
Vertikale Zeichen anders interpretieren als horizontale Zeichen.
Eine Zahl eintragen, die zur Ungleichheit passt, aber in der Zeile oder Spalte bereits vorkommt.
Aus einer Ungleichheit sofort konkrete Zahlen ableiten, obwohl nur eine Reihenfolge feststeht.
Mehrere verbundene Ungleichheiten einzeln betrachten, statt sie als Kette zu nutzen.

Tipps für Anfänger

Lies jedes Zeichen als einfachen Satz, zum Beispiel „links ist kleiner als rechts“.
Beginne mit Zeichen neben bereits bekannten sehr kleinen oder sehr grossen Zahlen.
Notiere bei zwei fehlenden Zahlen beide Werte und prüfe dann ihre Reihenfolge.
Suche nach Ketten wie „kleiner als – kleiner als“ oder nach Tälern wie „grösser als – kleiner als“.
Prüfe nach jedem Eintrag die gesamte Zeile und Spalte erneut.
Wenn ein Zeichen nur Kandidaten einschränkt, aber noch keine Zahl festlegt, notiere die verbleibenden Möglichkeiten und rate nicht.

Futoshiki kombiniert die Struktur eines lateinischen Quadrats mit Grössenvergleichen. Die Zahlenregeln bestimmen, welche Werte in einer Zeile oder Spalte fehlen, und die Ungleichheiten legen fest, in welcher Reihenfolge diese Werte stehen müssen.